Cara Mudah Menghitung Kuadrat/Pangkat Dua

Setelah sebelumnya kita mengenal perkalian, maka kali ini kita mencoba mengenal pengkuadratan atau pangkat dua. Kuadrat merupakan perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya 3 x 3 = 9 adalah kuadrat dari 3 dan biasanya ditulis dalam bentuk 3^2 = 9.

Bila kita hafal perkalian bilangan dibawah 11, maka akan dengan mudah kita menyelesaikan pengkuadratan bilangan dibawah 11. sedangkan untuk bilangan diatas 11 tentulah lebih sulit mengerjakannya. Ada beberapa cara yang relatif lebih mudah untuk menyelesaikannya.

Pengkuadratan Bilangan yang mendekati 100

Proses penyelesaiaannya sama seperti pada perkalian bilangan yang mendekati 100.

Berapakah 94^2 
Perbedaan antara 94 dengan 100 adalah 6
Mengkuadratkan perbedaan yaitu 6^2 = 6 x 6 = 36 merupakan angka terakhir jawaban.
Pengurangan antara bilangan yang dikuadratkan dengan perbedaan 94 – 6 =88 adalah angka pertama jawaban. Yang mewakili bilangan dasar 88 (00) atau 88 ratusan.
Maka jawaban 94^2 = 8836

Hitunglah 86^2
Perbedaan antara 86 dengan 100 adalah 14
Mengkuadratkan perbedaan 14^2 = 14 x 14 = 196, simpan 1(00) (memiliki satu ratusan yaitu 1) sehingga angka terakhir jawaban adalah 96
Pengurangan antara bilangan yang dikuadratkan dengan perbedaan 86 – 14 = 72 merupakan bilangan dasar 72 (00) atau 72 ratusan, angka pertama jawaban adalah 72 (00) + 1 (00) yaitu 73
Maka jawaban 86^2 = 7396

Pengkuadratan bilangan diatas 100

Berapakah 108^2
Perbedaan antara 108 dengan 100 adalah 8
Kuadratkan perbedaan 8^2 = 64 adalah angka terakhir jawaban
Jumlahkan bilangan yang dikuadratkan dengan perbedaan 108 + 8 = 116adalah angka pertama jawaban
Jadi 108^2 = 11.664

Pengkuadratan bilangan yang mendekati 200

Hitunglah 197^2
Perbedaan antara 197 dengan 200 adalah 3
Kuadratkan perbedaan 3^2 = 9 09 adalah angka terakhir jawaban
Selisih antara bilangan yang dikuadratkan dengan perbedaan 197 - 3 = 194 jadi angka pertama jawaban adalah 194 x 2 = 388 (200 adalah 2 x 100)
Maka jawaban 197^2 = 38.809

Pengkuadratan Bilangan yang mendekati 50

Hitunglah 47^2
Perbedaan antara 47 dengan 50 adalah 3
Kuadratkan perbedaan 3^2 = 9 09 angka jawaban terakhir
Selisih antara bilangan yang dikuadratkan dengan perbedaan 47 – 3 = 44 angka pertama jawaban adalah 44 x ½ = 22 (dikalikan setengah karena 50 adalah setengah dari 100).
Jadi jawaban 47^2 = 2.209

Pengkuadratan bilangan yang angka akhirnya 5

Pengkuadratan/Pangkat Dua bilangan yang angka akhirnya 5 sangatlah mudah dikerjakan karena memiliki keunikan tersendiri yaitu bagian akhir jawaban pasti 25 dan untuk memperoleh bagian awal jawaban, jumlahkan angka pertama bilangan dengan 1, lalu hasilnya dikalikan dengan angka pertama bilangan tersebut.

Hitunglah 75^2

Angka pertama bilangan adalah 7
Maka angka pertama jawaban adalah 7 +1 = 8, 8 x 7 = 56
Maka 75^2 = 5.625

Hitunglah 175^2
Angka pertama bilangan 17
Maka angka pertama jawaban 17 + 1 = 18, 18 x 17 = 306 (ingat perkalian silang)
Maka 175^2 = 30.625

Pangkat, Akar dan Radikal

Pangkat

Pangkat (atau eksponen) sangat berguna dalam matematika. Pangkat adalah cara singkat menulis perkalian yang berulang-ulang pada bilangan yang sama.

Contoh pangkat

4¹⁰

4 disebut basis, dan 10 merupakan pangkatnya. 4¹⁰ berarti “kalikan 4 dengan dirinya sendiri sehingga ada 10 buah 4 dalam perkalian.” Karenanya 4¹⁰ berarti

4¹⁰ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1048576

Contoh eksponen bilangan bulat

Bagaimana bila kita memiliki pangkat 1, atau 0, atau bahkan -1?

Mari kita buat pola menggunakan contoh 9⁴, sehingga kita dapat melihat kasus khusus ini. Saat kita meneruskan polanya, kita membagi dengan 9 untuk mendapatkan nilai baru

9⁴ = 9 x 9 x 9 x 9

9³ = 9 x 9 x 9

9² = 9 x 9

9¹ = 9

9⁰ = 1

9^-1 = 1/9

9^-2 = 1/(9 x 9)

9^-3 = 1/(9 x 9 x 9)

Perhatikan kasus khususnya,

9¹ = 9

9⁰ = 1

9^-1 = 1/9

Anda bisa kelupaan dan kebingungan kalau melupakan hal ini saat mengerjakan aljabar.

Secara umum, semua bilangan a, (kecuali 0) yang dipangkatkan 1 hasilnya adalah a.

a¹ = a

setiap bilangan a, (kecuali 0) yang dipangkatkan -1 adalah 1/a.

a^-1 = 1/a

Mengalikan Bilangan Dengan Basis yang Sama

Kita sering harus mengalikan seperti dalam contoh berikut:

2⁹ x 2⁶

Kedua bilangan ini memiliki basis yang sama (yaitu 2) dan bisa kita bayangkan perkaliannya :

2⁹ x 2⁶ = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2)

Ada 9 buah 2 dalam kurung pertama dan 6 buah 2 dalam kurung kedua, sehingga digabungkan ada 9 + 6 = 15 buah 2 yang dikalikan.

2⁹ x 2⁶ = 2⁹⁺⁶ = 2¹⁵ (Jawabannya 32768)

Secara umum, kita dapat mengatakan untuk sembarang bilangan a dan pangkat m dan n :

a^m x aⁿ = a^m+n

Membagi bilangan dengan basis yang sama

Sebagai contoh, mari kita bagi 9⁸ dengan 9²:

9⁸/9² = (9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9)/(9 x 9)

= 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9

= 9⁶

= 531441

Kita mencoret dua buah 9 dari pembilang dan dua buah 9 dari penyebut, menyisakan 6 buah 9 di pembilang (dan bilangan 1 di penyebut).

Secara umum, untuk setiap bilangan a (kecuali 0) dan pangkat m dan n:

a^m / aⁿ = a^m-n

Memangkatkan Pangkat

Sebagai contoh, mari kita pangkatkan bilangan 5³ dengan pangkat 9:

(5³)⁹ = 5³ x 5³ x 5³ x 5³ x 5³ x 5³ x 5³ x 5³ x 5³

Dari contoh perkalian di atas, kita bisa melihat kalau ini akan memberi kita 5²⁷. Kita bisa melakukannya dengan

(5³)⁹ = 5^3×9 = 5²⁷

Secara umum, untuk sebarang basis a dan pangkat m dan n:

(a^m)ⁿ = a^mn

Memangkatkan perkalian

Contoh

(4 x 3)³ = 4³ x 3³

Dalam kasus ini, dengan bilangan, akan lebih baik melakukan perkalian dalam kurung lebih dahulu baru dipangkatkan 3. Namun bila memakai huruf dalam aljabar, kita tidak dapat melakukan hal yang sama dan kita perlu tahu bagaimana menyederhanakannya.

Secara umum:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Memangkatkan pembagian

Contoh

(1/9)² = (1²)/(9²)

Secara umum:

(a/b)ⁿ = (aⁿ)/(bⁿ)

Rangkuman hukum pangkat

CATATAN: Tidak ada rumus untuk soal seperti a^m+ aⁿ = …

Hal ini karena kitahanya dapat menambah atau mengurangi suku yang sama (yang memiliki bagian huruf yang sama). Sebagai contoh, kalau seperti ini boleh:

3a³ + 4a³ = 7a³,

Karena kita menambahkan bagian koefisien yang memiliki huruf berpangkat yang sama.

Namun kita tidak dapat melakukan apa-apa pada persamaan berikut:

2a⁹ + 2a⁵

Karena pangkatnya berbeda.

Akar dan Radikal

Inilah yang dimaksud tanda radikal :

Ia berarti akar kuadrat. Akar kuadrat sebenarnya sebuah pangkat pecahan dan sama dengan memangkatkan bilangan dengan ½.

Jadi, sebagai contoh:

Juga ada yang namanya akar kubik yang sama dengan pangkat 1/3

Akar pangkat empat, berarti pangkat 1/4

Dan seterusnya

Jika a bilangan positif dan b juga bilangan positif, maka

Namun, ini hanya berlaku untuk perkalian. Ingat kalau:

(coba cek dengan bilangan positif menggunakan kalkulator).

Selain itu, ini juga sering ditemukan dalam matematika:

Ini kadang membingungkan. Namun ini hanya bermakna:

1.      Mulai dengan sebuah bilangan

2.      Kuadratkan

3.      Cari akarnya

4.      Hasilnya bilangan yang awal tadi

Sebagai contoh kita bisa mulai dengan 9.

Kuadratkan, kita dapatkan 81.

Akarkan kita dapatkan 9 kembali, yang merupakan bilangan awal kita.

Kenapa hal ini penting? Sering kali kita harus memeriksa jawaban saat memecahkan soal, sehingga harus mencari akar kedua sisi persamaan. Dengan cara ini kita bisa memeriksa pekerjaan kita.

Referensi

OPERASIONAL BILANGAN AL JABAR

Masih ingatkah kamu tentang pelajaran Aljabar? Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk aljabar dan juga telah mempelajari operasi hitung pada bentuk aljabar tersebut. Sekarang, kamu akan menambah pengetahuanmu tentang aljabar tersebut, khususnya mengenai faktorisasi aljabar. Menurutmu, mengapa kamu perlu mempelajari aljabar? Mungkin kamu tidak menyadari bahwa konsep aljabar seringkali dipakai dalam kehidupan sehari-hari.
Setiap hari, Nita menabung sebesar x rupiah. Berapa besar tabungan anak tersebut setelah satu minggu? Berapa besar pula tabungannya setelah satu bulan? Setelah 10 hari, uang tabungan itu dibelikan dua buah buku yang harganya y rupiah, berapakah sisa uang tabungan Nita? Jika nilai x adalah Rp2.000,00 dan nilai y adalah Rp5.000,00, carilah penyelesaiannya.
Saat kamu mencari penyelesaian dari kasus tersebut, maka kamu sedang menggunakan konsep aljabar. Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik

A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.

1. 2pq                4. x² + 3x –2
2. 5x + 4            5. 9x² – 3xy + 8
3. 2x + 3y –5

Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut.

1. Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5.
2. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku yang nilainya tidak berubah.

Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku?

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.

a. Sifat Komutatif
     a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
    (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
    a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal : Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 6mn + 3mn b. 16x + 3 + 3x + 4 c. –x – y + x – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 Jawab: a. 6mn + 3mn = 9mn b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4      = 19x + 7 c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3      = –y – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2      = 5p – 3p2 + 2q – 5q2      = –3p2 + 5p – 5q2 + 2q e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2     = 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2     = m2 + 6m Contoh Soal : Tentukan hasil dari: a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10, b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5. Jawab: a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10      = 6x2 + 4xy – 2 b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15      = –4p2 – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal : Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.   a. 2(x + 3)              c. 3x(y + 5)   b. –5(9 – y)             d. –9p(5p – 2q) Jawab: a. 2(x + 3) = 2x + 6                c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x b. –5(9 – y) = –45 + 5y           d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal : Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.  a. (x + 5)(x + 3)               c. (2x + 4)(3x + 1)  b. (x – 4)(x + 1)                d. (–3x + 2)(x – 5) Jawab: a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3                            = x2 + 5x + 3x + 15                            = x2 + 8x + 15 b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1                           = x2 – 4x + x – 4                           = x2 – 3x – 4 c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1                                = 6x2 + 12x + 2x + 4                                = 6x2 + 14x + 4 d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)                               = –3x2 + 2x + 15x – 10                               = –3x2 + 17x – 10 Contoh Soal : Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar (6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut. Jawab: Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm Ditanyakan : luas persegipanjang Luas = p × l          = (5x + 3)(6x – 2)          = (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)          = 30x2 + 18x – 10x – 6          = 30x2 + 8x – 6 Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2

Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
             (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
                                    = ac + bc + ad + bd
                                    = ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:

Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal : Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.  a. (x + 1)(x + 2)                c. (x – 2)(x + 5)  b. (x + 8)(2x + 4)              d. (3x + 4)(x – 8) Jawab: a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2                           = x2 + 3x + 2 b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32                              = 2x2 + 20x + 32 c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10                          = x2 + 3x – 10 d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32                            = 3x2 – 20x – 32

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal : Tentukan hasil pembagian berikut.   a. 8x : 4                    c. 16a2b : 2ab   b. 15pq : 3p              d. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y) Jawab:

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.

Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. a⁵ = a × a × a × a × a
b. (2a)³ = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a³
c. (–3p)⁴ = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
               = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p⁴
d. (4x²y)² = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x² × x²) × (y × y) = 16x⁴y²

Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)²? Bentuk (a + b)² merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)² dapat ditulis:

(a + b)² = (a + b) (a + b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)² juga dapat ditulis sebagai:

(a – b)² = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²

Contoh Soal :

Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)³, sebagai berikut.

(a + b)³ = (a + b) (a + b)²
             = (a + b) (a² + 2ab + b²)                                  (a+b)² = a² + 2ab + b²
             = a(a² + 2ab + b² ) + b (a² + 2ab + b² )         (menggunakan cara skema)
             = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³              (suku yang sejenis dikelompokkan)
             = a³ + 2a²b + a²b + ab² +2ab² + b³               (operasikan suku-suku yang sejenis)         
             = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)², (a + b)³, dan (a + b)⁴, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)⁵, (a + b)⁶, (a + b)⁷, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut.

Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)² dapat diuraikan menjadi a² + 2ab + b². Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)² mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a² + 2ab + b². Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a² kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b²). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)³, (a + b)⁴, (a + b)⁵, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
dan seterusnya.

Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)ⁿ dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.

(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴
(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² – 10a²b³ + 5ab⁴ – b⁵

B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar

1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif

Di Sekolah Dasar, kamu tentu telah mempelajari cara memfaktorkan suatu bilangan. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut.

Contoh Soal : Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 5ab + 10b           c. –15p2q2 + 10pq b. 2x – 8x2y            d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 Jawab: a. 5ab + 10b Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan 10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b. Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2). b. 2x – 8x2y Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x. Jadi, 2x – 8x2y = 2x(1 – 4xy). c. –15p2q2 + 10pq Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah pq. Jadi, –15p2q2 + 10pq = 5pq (–3pq + 2). d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 Faktor persekutuan dari 1/2 dan 1/4 adalah 1/4. Faktor persekutuan dari a3b2 adalah a2b3 adalah a2b2. Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b)

2. Selisih Dua Kuadrat

Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis
  (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²
                         = a² – b²
Jadi, bentuk a² – b² dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).

Bentuk a² – b² disebut selisih dua kuadrat

Contoh Soal : Faktorkan bentuk-bentuk berikut. a. p2 – 4               c. 16 m2 – 9n2 b. 25x2 – y2          d. 20p2 – 5q2 Jawab: a. p2 – 4 = (p + 2)(p – 2) b. 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y) c. 16m2 – 9n2 = (4m + 3n)(4m – 3n) d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q)

3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a. Pemfaktoran bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + p)(x + q) = x² + qx + px + pq
                       = x² + (p + q)x + pq
Jadi, bentuk x² + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x² + (p + q)x + pq = ax² + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.

Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal : Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.    a. x2 + 5x + 6         b. x2 + 2x – 8 Jawab: a. x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)     Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.     Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6     dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5.     Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan     Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) b. x2 + 2x – 8 = (x + …) (x + …)     Dengan cara seperti pada (a), diperoleh a = 1, b = 2, dan c = –8.     Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari     dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua     bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan     –2 + 4 = 2.     Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)

b. Pemfaktoran Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1
Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1.

Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + 3) (2x + 1) = 2x² + x + 6x + 3
                         = 2x² + 7x + 3
Dengan kata lain, bentuk 2x² + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x² + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x² + 7x + 3 = 2x² + (x + 6 x) +3                (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu pilih ( x + 6x )
                     = (2x² + x) + (6x + 3)
                     = x(2x + 1) + 3(2x + 1)           (Faktorkan menggunakan sifat distributif)
                    = (x + 3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.

1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax²)(c).
2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif

Contoh Soal : Faktorkan bentuk-bentuk berikut.       a. 2x2 + 11x + 12                     b. 6x2 + 16x + 18 Jawab: a. 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 3x + 8x + 12                               = (2x2 + 3x) + (8x + 12)                               = x(2x + 3) + 4(2x + 3)                               = (x + 4)(2x + 3)      Jadi, 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3). b. 6x2 + 16x + 8 = 6x2 + 4x + 12x + 8                            = (6x2 + 4x) + (12x + 8)                            = 2x(3x + 2) + 4(3x + 2)                            = (2x + 4)(3x + 2)       Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)

C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan. Pada bagian ini, materi tersebut dikembangkan sampai dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar. Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa,
yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajari contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal : Contoh Soal :

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

a. Perkalian
Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan pecahan biasa, yaitu

Agar kamu lebih memahami materi perkalian pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal :

b. Pembagian
Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian pada pecahan biasa, yaitu :

Contoh Soal :

3. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa untuk a bilangan riil dan n bilangan asli, berlaku:

Definisi bilangan berpangkat tersebut berlaku juga pada pecahan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Contoh Soal :

4. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar

Masih ingatkah kamu materi penyederhanaan pecahan yang telah dipelajari di Kelas VII? Coba jelaskan dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Sekarang kamu akan mempelajari cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.

a. 
   Untuk menyederhanakan bentuk  , tentukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya.
   Kemudian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan tersebut.
   Faktor persekutuan dari 5x dan 10 adalah 5.
   Jadi, 

b. 

    Faktor persekutuan dari 9p dan 27q adalah 9.
     Jadi, 

c. 

   Untuk menyederhanakan bentuk  
   tentukan faktor penyebutnya sehingga 
   Jadi, 

Agar kamu lebih memahami materi penyederhanaan pecahan bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.

Contoh soal :

5 GENERASI KOMPUTER

Komputer adalah alat yang dipakai untuk mengolah data menurut prosedur yang telah dirumuskan. Kata computer semula dipergunakan untuk menggambarkan orang yang pekerjaannya melakukan perhitungan aritmatika, dengan atau tanpa alat bantu, tetapi arti kata ini kemudian dipindahkan kepada mesin itu sendiri. Asal mulanya, pengolahan informasi hampir eksklusif berhubungan dengan masalah aritmatika, tetapi komputer modern dipakai untuk banyak tugas yang tidak berhubungan dengan matematika.

Secara luas, Komputer dapat didefinisikan sebagai suatu peralatan elektronik yang terdiri dari beberapa komponen, yang dapat bekerja sama antara komponen satu dengan yang lain untuk menghasilkan suatu informasi berdasarkan program dan data yang ada. Adapun komponen komputer adalah meliputi : Layar Monitor, CPU, Keyboard, Mouse dan Printer. Tanpa printer komputer tetap dapat melakukan tugasnya sebagai pengolah data, namun sebatas terlihat di layar monitor belum dalam bentuk print out.

Dalam definisi seperti itu terdapat alat seperti slide rule, jenis kalkulator mekanik mulai dari abakus dan seterusnya, sampai semua komputer elektronik yang kontemporer. Istilah lebih baik yang cocok untuk arti luas seperti “komputer” adalah“yang memproses informasi” atau “sistem pengolah informasi.”

Saat ini, komputer sudah semakin canggih. Tetapi, sebelumnya komputer tidak sekecil, secanggih, sekeren dan seringan sekarang. Dalam sejarah komputer, ada 5 generasi dalam sejarah komputer.

1. Generasi Pertama (1944-1959)

Tabung hampa udara sebagai penguat sinyal, merupakan ciri khas komputer generasi pertama. Pada awalnya, tabung hampa udara (vacum-tube) digunakan sebagai komponen penguat sinyal. Bahan bakunya terdiri dari kaca, sehingga banyak memiliki kelemahan, seperti: mudah pecah, dan mudah menyalurkan panas. Panas ini perlu dinetralisir oleh komponen lain yang berfungsi sebagai pendingin.

Dan dengan adanya komponen tambahan, akhirnya komputer yang ada menjadi besar, berat dan mahal. Pada tahun 1946, komputer elektronik di dunia yang pertama yakni ENIAC selesai dibuat. Pada komputer tersebut terdapat 18.800 tabung hampa udara dan berbobot 30 ton. begitu besar ukurannya, sampai-sampai memerlukan suatu ruangan kelas tersendiri.

Pada gambar nampak komputer ENIAC, yang merupakan komputer elektronik pertama di dunia yang mempunyai bobot seberat 30 ton, panjang 30 M dan tinggi 2.4 M dan membutuhkan daya listrik 174 kilowatts.

2. Generasi Kedua (1960-1964)

Transistor merupakan ciri khas komputer generasi kedua. Bahan bakunya terdiri atas 3 lapis, yaitu: “basic”, “collector” dan “emmiter”. Transistor merupakan singkatan dari Transfer Resistor, yang berarti dengan mempengaruhi daya tahan antara dua dari 3 lapisan, maka daya (resistor) yang ada pada lapisan berikutnya dapat pula dipengaruhi. Dengan demikian, fungsi transistor adalah sebagai penguat sinyal. Sebagai komponen padat, tansistor mempunyai banyak keunggulan seperti misalnya: tidak mudah pecah, tidak menyalurkan panas. Dan dengan demikian, komputer yang ada menjadi lebih kecil dan lebih murah.

Pada tahun 1960-an, IBM memperkenalkan komputer komersial yang memanfaatkan transistor dan digunakan secara luas mulai beredar di pasaran. Komputer IBM-7090 buatan Amerika Serikat merupakan salah satu komputer komersial yang memanfaatkan transistor. Komputer ini dirancang untuk menyelesaikan segala macam pekerjaan baik yang bersifat ilmiah ataupun komersial. Karena kecepatan dan kemampuan yang dimilikinya, menyebabkan IBM 7090 menjadi sangat popular. Komputer generasi kedua lainnya adalah: IBM Serie 1400, NCR Serie 304, MARK IV dan Honeywell Model 800.

3. Generasi Ketiga (1964-1975)

Konsep semakin kecil dan semakin murah dari transistor, akhirnya memacu orang untuk terus melakukan berbagai penelitian. Ribuan transistor akhirnya berhasil digabung dalam satu bentuk yang sangat kecil. Secuil silicium yag mempunyai ukuran beberapa milimeter berhasil diciptakan, dan inilah yang disebut sebagai Integrated Circuit atau IC-Chip yang merupakan ciri khas komputer generasi ketiga. Cincin magnetic tersebut dapat di-magnetisasi secara 1 arah ataupun berlawanan, dan akhirnya men-sinyalkan kondisi “ON” ataupun “OFF” yang kemudian diterjemahkan menjadi konsep 0 dan 1 dalam system bilangan biner yang sangat dibutuhkan oleh komputer. Pada setiap bidang memory terdapat 924 cincin magnetic yang masing-masing mewakili 1 bit informasi. Jutaan bit informasi saat ini berada di dalam 1 chip tunggal dengan bentuk yang sangat kecil.

Komputer yang digunakan untuk otomatisasi pertama dikenalkan pada tahun 1968 oleh PDC 808, yang memiliki 4 KB (kilo-Byte) memory dan 8 bit untuk core memory.

4. Generasi Keempat (1975-Sekarang)
 
Microprocessor merupakan chiri khas komputer generasi keempat yang merupakan pemadatan ribuan IC ke dalam sebuah Chip. Karena bentuk yang semakin kecil dan kemampuan yang semakin meningkat dan harga yang ditawarkan juga semakin murah. Microprocessor merupakan awal kelahiran komputer personal.

Pada tahun 1971, Intel Corp kemudian mengembangkan microprocessor pertama serie 4004. Contoh generasi ini adalah Apple I Computer yang dikembangkan oleh Steve Wozniak dan Steve Jobs dengan cara memasukkan microprocessor pada circuit board komputer. Di samping itu, kemudian muncul TRS Model 80 dengan processor jenis Motorola 68000 dan Zilog Z-80 menggunakan 64Kb RAM standard. Komputer Apple II-e yang menggunakan processor jenis 6502R serta Ram sebesar 64 Kb, juga merupakan salah satu komputer PC sangat popular pada masa itu. Operating Sistem yang digunakan adalah: CP/M 8 Bit. Komputer ini sangat populer pada awal tahun 80-an.

IBM mulai mengeluarkan Personal Computer pada sekitar tahun 1981, dengan menggunakan Operating System MS-DOS 16 Bit. Dikarenakan harga yang ditawarkan tidak jauh berbeda dengan komputer lainnya, di samping teknologinya jauh lebih baik serta nama besar dari IBM sendiri, maka dalam waktu yang sangat singkat, komputer ini menjadi sangat popular.

5. Generasi Kelima (Sekarang – Masa depan)

Pada generasi ini ditandai dengan munculnya: LSI (Large Scale Integration) yang merupakan pemadatan ribuan microprocessor ke dalam sebuah microprocesor. Selain itu, juga ditandai dengan munculnya microprocessor dan semi conductor. Perusahaan-perusahaan yang membuat micro-processor di antaranya adalah: Intel Corporation, Motorola, Zilog dan lainnya lagi. Di pasaran bisa kita lihat adanya microprocessor dari Intel dengan model 4004, 8088, 80286, 80386, 80486, dan Pentium. Pentium-4 merupakan produksi terbaru dari Intel Corporation yang diharapkan dapat menutupi segala kelemahan yang ada pada produk sebelumnya, di samping itu, kemampuan dan kecepatan yang dimiliki Pentium-4 juga bertambah menjadi 2 Ghz. Gambar-gambar yang ditampilkan menjadi lebih halus dan lebih tajam, di samping itu kecepatan memproses, mengirim ataupun menerima gambar juga menjadi semakin cepat.

Pentium-4 diproduksi dengan menggunakan teknologi 0.18 mikron. Dengan bentuk yang semakin kecil mengakibatkan daya, arus dan tegangan panas yang dikeluarkan juga semakin kecil. Dengan processor yang lebih cepat dingin, dapat dihasilkan kecepatan MHz yang lebih tinggi. Kecepatan yang dimiliki adalah 20 kali lebih cepat dari generasi Pentium 3.

Packard Bell iXtreme 4140i merupakan salah satu PC komputer yang telah menggunakan Pentium-4 sebagai processor dengan kecepatan 1.4 GHz, memory RDRAM 128 MB, Harddisk sebesar 40 GB (1.5 GB digunakan untuk recovery), serta video card GeForce2 MX dengan memory 32 MB. HP Pavilion 9850 juga merupakan PC yang menggunakan Pentium-4 untuk processornya dengan kecepatan 1.4 GHz. PC Pentium-4 Hewllett-Packard ini dating dengan dominan warna hitam dan abu-abu. Dibandingkan dengan PC lainnya, Pavilion merupakan PC Pentium-4 dengan fasilitas terlengkap. Memory yang dimiliki sebesar RDRAM 128 MB, Harddisk 30 GB dengan monitor sebesar 17 inchi.